Calculer et comprendre les augmentations et réductions en pourcentage

Le calcul des pourcentages d’augmentation ou de réduction est une compétence mathématique essentielle dans de nombreux domaines. Que ce soit pour gérer son budget personnel, comparer des offres commerciales ou analyser l’évolution d’indicateurs économiques, il est indispensable de bien comprendre ce que représente un pourcentage et comment l’utiliser correctement dans des calculs.

Cet article propose un tour d’horizon complet des augmentations et réductions exprimées en pourcentage. Nous verrons :

• Les bases du calcul de pourcentage
• Comment calculer un pourcentage d’augmentation ou de réduction
• Comment combiner plusieurs pourcentages successifs
• Quelques pièges classiques à éviter
• Des exemples concrets d’utilisation des pourcentages

En suivant ce dossier détaillé, vous disposerez de toutes les clés pour manipuler les pourcentages en toute confiance !

Bases du calcul de pourcentage

Avant de rentrer dans le détail du calcul d’augmentation et de réduction, il est important de bien comprendre ce qu’est un pourcentage et comment l’utiliser dans un calcul simple.

1.1 Définition

Un pourcentage est une fraction sur 100. Il permet d’exprimer une proportion ou un ratio. Par exemple, dire qu’une valeur A représente 25% d’une valeur B signifie que A = 25/100 x B.

1.2 Passage en décimal

Lorsqu’on souhaite effectuer un calcul avec un pourcentage, il est plus pratique de le convertir sous forme décimale. La règle est simple : pour transformer un pourcentage en décimal, il suffit de le diviser par 100. Ainsi :

• 25% = 25 / 100 = 0,25
• 50% = 50 / 100 = 0,5
• 75% = 75 / 100 = 0,75

1.3 Un calcul en trois étapes

Appliquer un pourcentage à un nombre se fait généralement en 3 étapes :

1. Exprimer le pourcentage sous forme décimale (règle vue précédemment)
2. Multiplier ce décimal par le nombre de départ
3. Interpréter le résultat

Par exemple, pour calculer 25% de 400 :

1. 25% = 0,25 (règle de passage en décimal)
2. 0,25 x 400 = 100 (on multiplie)
3. Le résultat signifie que 25% de 400 est égal à 100

Calcul d’un pourcentage d’augmentation ou de réduction

Maintenant que les bases du pourcentage sont acquises, attaquons-nous au calcul d’une augmentation ou d’une réduction exprimée en pourcentage.

2.1 Formule générale

Que l’on parte d’un salaire, du prix d’un produit ou de n’importe quelle autre valeur, la formule pour calculer un pourcentage d’évolution est toujours la même :

(% d’évolution x valeur initiale) / 100

En appliquant cette formule, on peut calculer facilement une augmentation ou une réduction en pourcentage. Regardons plus en détail comment procéder dans les deux cas.

2.2 Calcul d’un pourcentage d’augmentation

Prenons un exemple concret : un salarié gagne actuellement 2 500 € brut par mois. Son employeur décide de lui octroyer une augmentation de 5%. Quel sera son nouveau salaire ?

En appliquant la formule générale :

• Pourcentage d’augmentation : 5%
• Valeur initiale : 2 500 €
• Calcul : (5% x 2 500) / 100 = 125 €

Cette valeur de 125 € représente le montant de l’augmentation. Pour connaître le nouveau salaire, on ajoute ce montant au salaire initial :

• Ancien salaire : 2 500 €
• Montant de l’augmentation : 125 €
• Nouveau salaire : 2 500 + 125 = 2 625 €

On vérifie bien que l’augmentation de 5% a bien été appliquée. Ce nouveau salaire pourra aussi s’exprimer comme une multiplication par 1,05 du salaire initial.

2.3 Calcul d’un pourcentage de réduction

Prenons cette fois l’exemple d’un produit vendu initialement 150 € qui bénéficie d’une remise de 20%. Quel sera son nouveau prix après cette réduction ?

Même principe que pour le calcul de l’augmentation :

• Pourcentage de réduction : 20%
• Valeur initiale : 150 €
• Calcul : (20% x 150) / 100 = 30 €

Ici, 30 € représente le montant de la réduction. Pour connaître le nouveau prix, il suffit de retrancher ce montant au prix initial :

• Ancien prix : 150 €
• Montant de la réduction : 30 €
• Nouveau prix : 150 – 30 = 120 €

On vérifie bien l’application des 20% de réduction. Ce nouveau prix pourra aussi s’exprimer comme une multiplication par 0,8 du prix initial (car 100% – 20% = 80%).

Enchaîner plusieurs pourcentages

Dans certains cas, on peut avoir à combiner ou enchaîner plusieurs augmentations et/ou réductions successives. Comment s’assurer de les calculer correctement ? Il y a quelques subtilités à connaître.

3.1 Deux augmentations successives

Imaginons un salaire de départ de 1 800 € qui bénéficie d’abord d’une augmentation de 5%, puis d’une deuxième augmentation de 8% l’année suivante. Quel sera le salaire final ? Attention, additionner directement les pourcentages ne fonctionnerait pas !

La méthode consiste à :

1. Appliquer la première augmentation de 5% au salaire initial
   • 1 800 € x 1,05 = 1 890 €
2. Prendre ce salaire intermédiaire comme nouvelle base pour la deuxième augmentation
   • 1 890 € x 1,08 = 2 041,20 €

On trouve bien un salaire final supérieur à deux augmentations de 5+8 = 13%. En multipliant directement les pourcentages entre eux (1,05 x 1,08 = 1,134), on vérifie aussi que la hausse totale est de 13,4%.

3.2 Une diminution puis une augmentation

Un commerçant doit d’abord baisser tous ses prix de 10% lors des soldes, avant de les remonter ensuite de 10%. Ses prix reviendront-ils à leur niveau initial ? Voyons ce qu’il se passe sur un article à 100 €.

1. Application de la réduction de 10%
   • 100 € x 0,9 = 90 €
2. On prend ce prix soldé comme nouvelle base pour l’augmentation
   • 90 € x 1,1 = 99 €

On constate qu’après une diminution puis une augmentation de 10%, le prix final n’est pas revenu à 100 € mais à 99 €. Il est crucial de comprendre que chaque pourcentage successive s’applique à la valeur résultante de l’opération précédente. On ne revient donc jamais exactement à la valeur initiale dans ce cas.

3.3 Deux réductions successives

Un pantalon à 65 € bénéficie d’abord d’une réduction de 20%, puis d’une deuxième réduction de 10% lors d’une opération promotionnelle. Attention, cumuler directement 20% + 10% ne marcherait absolument pas ici… Voyons pourquoi.

En réalité, il faut :

1. Calculer la première réduction
   • Prix initial : 65 €
   • Réduction de 20% : (20% x 65) / 100 = 13 €
   • Prix après réduction : 65 – 13 = 52 €
2. Appliquer la deuxième réduction sur ce prix réduit
   • Nouveau prix de base : 52 €
   • Réduction de 10% : (10% x 52) / 100 = 5,20 €
   • Prix final : 52 – 5,20 = 46,80 €

On trouve bien un prix final de 46,80 €, très inférieur au résultat faux qu’on obtiendrait avec 20% + 10% = 30% de 65 €. Là encore, l’enchainement des pourcentages est crucial !

Attention aux pièges classiques !

Certains raisonnements erronés au sujet des pourcentages sont très répandus. Les connaître permettra de les éviter et d’éviter des erreurs de calcul !

4.1 Additionner des pourcentages ? Faux !

Nous venons de le voir, additionner directement des pourcentages successifs est complètement faux ! 5% puis 10% ne font pas 15%. Chaque pourcentage s’applique l’un après l’autre sur le résultat précédent. Cette erreur est très courante, il faut absolument s’en méfier en calculant.

4.2 Inverser augmentation et réduction ? Attention !

Autre erreur classique : croire qu’une augmentation suivie d’une même réduction (ou l’inverse) se compensent et reviennent à la valeur initiale. Faux ! Par exemple, +10% puis -10% ne reviennent pas exactement au point de départ. Nous l’avons vu dans l’exemple précédent (100 € -> 110 € -> 99 €), il reste un petit écart.

4.3 La double-baisse, très sous-estimée !

Enfin, enchainer plusieurs réductions peut mener à de grosses surprises. Par exemple, peu de gens réalisent qu’une baisse de 50% suivie d’une autre baisse de 50% équivaut… à une diminution de 75% ! (Un nombre divisé par 2 puis encore divisé par 2 = divisé par 4 = 75% de réduction). Ce genre de double-baisse est très sous-estimée.

Applications concrètes des calculs de pourcentages

Terminons ce tour d’horizon par quelques exemples d’application pratique des calculs d’augmentations et réductions en pourcentage.

5.1 Gérer son budget et faire des économies

• Calculer l’impact d’une augmentation de loyer ou de charges
• Estimer des réductions et comparer des prix lors des soldes
• Suivre et minimiser ses dépenses contraintes (énergie, carburant…)
• Optimiser la gestion de son livret d’épargne

5.2 Analyste financier

• Analyser l’évolution du chiffre d’affaires et des bénéfices d’une entreprise
• Estimer l’impact de la variation des taux de change entre devises
• Prévoir l’évolution de la valeur d’actions, d’indices boursiers
• Apprécier l’intérêt de placements financiers à rendement variable

5.3 Statistiques économiques et sociales

• Etudier l’évolution du PIB, de la croissance, de l’inflation
• Analyser des dynamiques démographiques (natalité, espérance de vie…)
• Comprendre et interpréter des sondages d’opinion
• Comparer des taux de réussite à des examens entre académies

Les exemples ne manquent pas ! Maîtriser les calculs de pourcentages est indispensable dans de très nombreux cas.

En résumé

Effectuer correctement des calculs avec des pourcentages nécessite donc de :

• Bien comprendre la définition et le fonctionnement des pourcentages
• Connaître la formule clé pour trouver un montant d’augmentation/réduction
• Si plusieurs pourcentages s’enchaînent, bien penser à appliquer chaque pourcentage l’un après l’autre sur le résultat précédent
• Se méfier des raisonnements faux très répandus

Avec un peu de pratique et d’entrainement sur des exercices concrets, le calcul des pourcentages devient rapidement un réflexe ! Vous disposerez